《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說課稿
一、教材分析
1.教材中的地位及作用
本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后,在此基礎(chǔ)上,反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,也是高考的一個(gè)考點(diǎn),是深入研究雙曲線,靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ),更能使學(xué)生理解、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
平面解析幾何研究的主要問題之一就是:通過方程,研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求:學(xué)生要掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì),初步掌握根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求,以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。
(1)知識(shí)目標(biāo):①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì);
②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,理解雙曲線的漸近線的概念及證明;
③能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。
(2)能力目標(biāo):①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,想象能力,數(shù)形結(jié)合能力,分析、歸納能力和邏輯推理能力,以及類比的學(xué)習(xí)方法;
②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。
(3)德育目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神,而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的,變化的觀點(diǎn)分析理解事物。
3.重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)
對(duì)圓錐曲線來說,漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此,在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn),充分暴露思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中,學(xué)生也易接受。因此,我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn),根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求,結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力,我把漸近線和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。
4.教學(xué)方法
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中,學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到,凡是難度不大,經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題,應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性,同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心,使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮,從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。
漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),我們常利用它作出雙曲線的草圖,而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此,在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,從已有知識(shí)出發(fā),層層設(shè)(釋)疑,激活已知,啟迪思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進(jìn)一步清晰概念(或圖形)特征,培養(yǎng)思維的深刻性。
例題的選備,可將此題作一題多變(變條件,變結(jié)論),訓(xùn)練學(xué)生一題多解,開拓其解題思路,使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。
二、教學(xué)程序
(一).設(shè)計(jì)思路
(二).教學(xué)流程
1.復(fù)習(xí)引入
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),請(qǐng)同學(xué)們來回顧這些知識(shí)點(diǎn),對(duì)學(xué)習(xí)的舊知識(shí)加以復(fù)習(xí)鞏固,同時(shí)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,利用多媒體工具的先進(jìn)性,結(jié)合圖像來演示。
2.觀察、類比
這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,首先觀察雙曲線的形狀,試著按照橢圓的幾何性質(zhì),歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率,對(duì)知識(shí)的理解不能浮于表面只會(huì)看圖,也要會(huì)從方程的角度來解釋,抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)(實(shí)軸、虛軸)、離心率(不深入的講解)的鞏固。之后,比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別,這樣可以加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系,借助于類比方法,引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,激發(fā)求知欲。
3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明
(1)發(fā)現(xiàn)
由橢圓的幾何性質(zhì),我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么,由雙曲線的幾何性質(zhì),能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的圖形為引例,讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐,通過列表描點(diǎn),就能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫出來,但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個(gè)性質(zhì)是不行的。
從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手,而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)的圖像,它的圖像是雙曲線,當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí),它與x、y軸無限接近,此時(shí)x、y軸是的漸近線,為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線有何特征?有沒有漸近線?由于雙曲線的對(duì)稱性,我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時(shí),由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可解出,,當(dāng)x無限增大時(shí),y也隨之增大,不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如果將式子變形為,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng)x無限增大,逐漸減小、無限接近于0,而就逐漸增大、無限接近于1();若將變形為,即說明此時(shí)雙曲線在第一象限,當(dāng)x無限增大時(shí),其上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比1小,但與斜率為1的直線無限接近,且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢(shì)就可以利用對(duì)稱性得到,從而可知雙曲線的圖形在遠(yuǎn)處與直線無限接近,此時(shí)我們就稱直線叫做雙曲線的漸近線。這樣從已有知識(shí)出發(fā),層層設(shè)(釋)疑,激活已知,啟迪思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進(jìn)一步清晰概念(或圖形)特征,培養(yǎng)思維的深刻性。
利用由特殊到一般的規(guī)律,就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線(a>0,b>0)的漸近線,讓學(xué)生同樣利用類比的方法,將其變形為,,由于雙曲線的對(duì)稱性,我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì),繼續(xù)變形為,,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x無限增大時(shí),逐漸減小、無限接近于0,逐漸增大、無限接近于,即說明對(duì)于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比小,與斜率為的直線無限接近,且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢(shì)可以利用對(duì)稱性得到,從而可知雙曲線(a>0,b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線無限接近,直線叫做雙曲線(a>0,b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn),充分暴露思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過誘導(dǎo)、分析,巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中,學(xué)生也易接受。
(2)證明
如何證明直線是雙曲線(a>0,b>0)的漸近線呢?
啟發(fā)思考①:首先,逐步接近,轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言?(x→∞,d→0)
啟發(fā)思考②:顯然有四處逐步接近,是否每一處都進(jìn)行證明?
啟發(fā)思考③:鎖定第一象限后,具體地怎樣利用x表示d
(工具是什么:點(diǎn)到直線的距離公式)
啟發(fā)思考④:讓學(xué)生設(shè)點(diǎn),而d的表達(dá)式較復(fù)雜,能否將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化?
分析:要證明直線是雙曲線(a>0,b>0)的漸近線,即要證明隨著x的增大,直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離
|MQ|越來越短,因此把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算|MQ|。但因|MQ|不好直接求得,因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求|MN|。
啟發(fā)思考⑤:這樣證明后,還須交代什么?
(在其他象限,同理可證,或由對(duì)稱性可知有相似情況)
引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究,從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。
(3)深化
再來研究實(shí)軸在y軸上的雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程就會(huì)變得容易很多,此時(shí)可利用類比的方法或者利用對(duì)稱性得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為。
這樣,我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題,從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線過實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn),作平行與坐標(biāo)軸的直線所成的矩形的兩條對(duì)角線,數(shù)形結(jié)合,來加強(qiáng)對(duì)雙曲線的漸近線的理解。
4.離心率的幾何意義
橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度,雙曲線離心率有何幾何意義呢?不難得到:,這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的簡(jiǎn)單結(jié)論。通過對(duì)離心率的研究,同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)漸近線的理解。
由等式,可得:,不難發(fā)現(xiàn):e越。ㄔ浇咏1),就越接近于0,雙曲線開口越;e越大,就越大,雙曲線開口越大。所以,雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對(duì)這些性質(zhì)的探究,就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系,更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。
5. 例題分析
為突出本節(jié)內(nèi)容,使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這樣的例題:
例1.求雙曲線9x2-16y2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個(gè)雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式,要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法:(1)直接根據(jù)漸近線方程寫出;(2)利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對(duì)角線得到。加強(qiáng)對(duì)于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。
變1:求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的:和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量;但求漸近線時(shí)可直接求出,也可以利用對(duì)稱性來求解。
關(guān)鍵在于對(duì)比:雙曲線的形狀不變,但在坐標(biāo)系中的位置改變,它的那些性質(zhì)改變,那些性質(zhì)不變?試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。(小結(jié)列表)
變2:已知雙曲線的漸近線方程是,且經(jīng)過點(diǎn)(,3),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。選題目的
:在已知雙曲線的漸近線的前提下,如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1:分焦點(diǎn)在x軸,焦點(diǎn)在y軸分別求解;方法2:確定點(diǎn)所在的區(qū)域,定方程的形式,然后求a、b。深化知識(shí),加強(qiáng)應(yīng)用,使知識(shí)系統(tǒng)化。
例題的選備,可將此題作一題多變(變條件,變結(jié)論),訓(xùn)練學(xué)生一題多解,開拓其解題思路,使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。
6.課堂練習(xí)
課本P113練習(xí)1.2,讓學(xué)生自己練習(xí),熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題,加強(qiáng)應(yīng)用性。
7.課堂小結(jié)
(1)通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì),尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì);
(2)雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié)(學(xué)生填表歸納)。
8.課后作業(yè)
課本P113習(xí)題
思考:雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律?
以上就是我對(duì)于《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的教學(xué)設(shè)計(jì),希望老師們給與批評(píng)與指正!我會(huì)不斷努力,力爭(zhēng)開拓創(chuàng)新,不斷進(jìn)步。