《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說課稿

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

    本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，是深入研究雙曲線，靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

    平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求：學(xué)生要掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識(shí)目標(biāo)：①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；

               ②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中

的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明；

               ③能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。

（2）能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；

               ②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。

（3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的，變化的觀點(diǎn)分析理解事物。

3.重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)

對(duì)圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn)，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。

4.教學(xué)方法

    這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

二、教學(xué)程序

（一）.設(shè)計(jì)思路

           （二）.教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)引入

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們來回顧這些知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)習(xí)的舊知識(shí)加以復(fù)習(xí)鞏固，同時(shí)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先進(jìn)性，結(jié)合圖像來演示。

2．觀察、類比

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，對(duì)知識(shí)的理解不能浮于表面只會(huì)看圖，也要會(huì)從方程的角度來解釋，抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)（實(shí)軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，借助于類比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。

3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明

（1）發(fā)現(xiàn)

由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線

的圖形為引例，讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐，通過列表描點(diǎn)，就能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個(gè)性質(zhì)是不行的。

從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)

的圖像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x、y軸無限接近，此時(shí)x、y軸是

的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線

有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對(duì)稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

，可解出

，

，當(dāng)x無限增大時(shí)，y也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如果將式子變形為

，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x無限增大，

逐漸減小、無限接近于0，而

就逐漸增大、無限接近于1(

)；若將

變形為

，即說明此時(shí)雙曲線在第一象限，當(dāng)x無限增大時(shí)，其上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比1小，但與斜率為1的直線無限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線

的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢(shì)就可以利用對(duì)稱性得到，從而可知雙曲線

的圖形在遠(yuǎn)處與直線

無限接近，此時(shí)我們就稱直線

叫做雙曲線

的漸近線。這樣從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，讓學(xué)生同樣利用類比的方法，將其變形為

，

，由于雙曲線的對(duì)稱性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì)，繼續(xù)變形為

，

，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x無限增大時(shí)，

逐漸減小、無限接近于0，

逐漸增大、無限接近于

，即說明對(duì)于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比

小，與斜率為

的直線無限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線

下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢(shì)可以利用對(duì)稱性得到，從而可知雙曲線

(a>0，b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線

無限接近，直線

叫做雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。

（2）證明

如何證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線呢？

啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（x→∞,d→0）

啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明？

啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用x表示d

（工具是什么：點(diǎn)到直線的距離公式）

啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點(diǎn)，而d的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

分析：要證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，即要證明隨著x的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離

｜MQ｜越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求｜MN｜。

 

 

 

啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？

（在其他象限，同理可證，或由對(duì)稱性可知有相似情況）

引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。

（3）深化

再來研究實(shí)軸在y軸上的雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線方程就會(huì)變得容易很多，此時(shí)可利用類比的方法或者利用對(duì)稱性得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為

。

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線過實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平行與坐標(biāo)軸的直線

所成的矩形的兩條對(duì)角線，數(shù)形結(jié)合，來加強(qiáng)對(duì)雙曲線的漸近線的理解。

4.離心率的幾何意義

橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到：

，這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的簡(jiǎn)單結(jié)論。通過對(duì)離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)漸近線的理解。

由等式

，可得：

，不難發(fā)現(xiàn)：e越�。ㄔ浇咏�于1），

就越接近于0，雙曲線開口越��；e越大，

就越大，雙曲線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對(duì)這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。

5. 例題分析

為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這樣的例題：

例1.求雙曲線9x²－16y²=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個(gè)雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對(duì)角線得到。加強(qiáng)對(duì)于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。

變1：求雙曲線9y²－16x²=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量；但求漸近線時(shí)可直接求出，也可以利用對(duì)稱性來求解。

關(guān)鍵在于對(duì)比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變？試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。（小結(jié)列表）

變2：已知雙曲線的漸近線方程是

，且經(jīng)過點(diǎn)(

,3),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。選題目的

：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1：分焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)在y軸分別求解；方法2：確定點(diǎn)所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求a、b。深化知識(shí)，加強(qiáng)應(yīng)用，使知識(shí)系統(tǒng)化。

    例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

6.課堂練習(xí)

    課本P113練習(xí)1.2，讓學(xué)生自己練習(xí)，熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性。

7.課堂小結(jié)

    （1）通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)；

（2）雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié)(學(xué)生填表歸納)。

8.課后作業(yè)

課本P113習(xí)題1.2.3，鞏固并掌握課上所學(xué)的知識(shí)。

思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律？

    以上就是我對(duì)于《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)，希望老師們給與批評(píng)與指正！我會(huì)不斷努力，力爭(zhēng)開拓創(chuàng)新，不斷進(jìn)步。