第一部分：數(shù)字推理題的解題技巧
按數(shù)字之間的關(guān)系，可將數(shù)字推理題分為以下十種類型：
1.和差關(guān)系。又分為等差、移動(dòng)求和或差兩種。
(1)等差關(guān)系。這種題屬于比較簡單的，不經(jīng)練習(xí)也能在短時(shí)間內(nèi)做出。建議解這種題時(shí)，用
口算。
12，20，30，42，()
127，112，97，82，()
3，4，7，12，()，28
(2)移動(dòng)求和或差。從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和或差，這種題初次做稍有難度，做多
了也就簡單了。
1，2，3，5，()，13
A 9 B 11 C 8 D7
選C。1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13
2，5，7，()，19，31，50
A 12 B 13 C 10 D11
選A
0，1，1，2，4，7，13，()
A 22 B 23 C 24 D 25
選C。注意此題為前三項(xiàng)之和等于下一項(xiàng)。一般考試中不會(huì)變態(tài)到要你求前四項(xiàng)之和，所以個(gè)人感覺這屬于移動(dòng)求和或差中最難的。
5，3，2，1，1，()
A-3 B-2 C 0 D2
選C。
2.乘除關(guān)系。又分為等比、移動(dòng)求積或商兩種
(1)等比。從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于一個(gè)常數(shù)或一個(gè)等差數(shù)列。
8，12，18，27，(40.5)后項(xiàng)與前項(xiàng)之比為1.5。
6，6，9，18，45，(135)后項(xiàng)與前項(xiàng)之比為等差數(shù)列，分別為1，1.5，2，2.5，3
(2)移動(dòng)求積或商關(guān)系。從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之積或商。
2，5，10，50， (500)
100，50，2，25，(2/25)
3，4，6，12，36，(216) 此題稍有難度，從第三項(xiàng)起，第項(xiàng)為前兩項(xiàng)之積除以2
1，7，8，57，(457) 后項(xiàng)為前兩項(xiàng)之積+1
3.平方關(guān)系
1，4，9，16，25，(36)，49
66，83，102，123，(146) 8，9，10，11，12的平方后+2
4.立方關(guān)系
1，8，27，(81)，125
3，10，29，(83)，127 立方后+2
0，1，2，9，(730) 有難度，后項(xiàng)為前項(xiàng)的立方+1
5.分?jǐn)?shù)數(shù)列。一般這種數(shù)列出難題較少，關(guān)鍵是把分子和分母看作兩個(gè)不同的數(shù)列，有的還需進(jìn)
行簡單的通分，則可得出答案
1/2 4/3 9/4 16/5 25/6 (36/7) 分子為等比，分母為等差
2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 將1/2化為2/4，1/3化為2/6，可知
下一個(gè)為2/8
6.帶根號(hào)的數(shù)列。這種題難度一般也不大，掌握根號(hào)的簡單運(yùn)算則可。限于計(jì)算機(jī)水平比較爛，
打不出根號(hào)，無法列題。
7.質(zhì)數(shù)數(shù)列
2，3，5，(7)，11
4，6，10，14，22，(26) 質(zhì)數(shù)數(shù)列除以2
20，22，25，30，37，(48) 后項(xiàng)與前項(xiàng)相減得質(zhì)數(shù)數(shù)列。
8.雙重?cái)?shù)列。又分為三種：
(1)每兩項(xiàng)為一組，如
1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一與第二，第三與第四等每兩項(xiàng)后項(xiàng)與前項(xiàng)之比為3
2，5，7，10，9，12，10，(13)每兩項(xiàng)之差為3
1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，() 兩項(xiàng)為一組，每組的后項(xiàng)等于前項(xiàng)倒數(shù)*2
(2)兩個(gè)數(shù)列相隔，其中一個(gè)數(shù)列可能無任何規(guī)律，但只要把握有規(guī)律變化的數(shù)列就可得出結(jié)果。
22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由兩個(gè)數(shù)列，22，25，31，40，()和39，38，37，36組成，相互隔開，均為等差。
34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由兩個(gè)數(shù)列相隔而成，一個(gè)遞增，一個(gè)遞減
(3)數(shù)列中的數(shù)字帶小數(shù)，其中整數(shù)部分為一個(gè)數(shù)列，小數(shù)部分為另一個(gè)數(shù)列。
2.01, 4.03, 8.04, 16.07, (32.11) 整數(shù)部分為等比，小數(shù)部分為移動(dòng)求和數(shù)列。雙重?cái)?shù)列難題也較少。能看出是雙重?cái)?shù)列，題目一般已經(jīng)解出。特別是前兩種，當(dāng)數(shù)字的個(gè)數(shù)超過7個(gè)時(shí)，為雙重?cái)?shù)列的可能性相當(dāng)大。
9.組合數(shù)列。
此種數(shù)列最難。前面8種數(shù)列，單獨(dú)出題幾乎沒有難題，也出不了難題，但8種數(shù)列關(guān)系兩兩組合，變態(tài)的甚至三種關(guān)系組合，就形成了比較難解的題目了。最常見的是和差關(guān)系與乘除關(guān)系組合、和差關(guān)系與平方立方關(guān)系組合。只有在熟悉前面所述8種關(guān)系的基礎(chǔ)上，才能較好較快地解決這類題。
1，1，3，7，17，41()
A 89 B 99 C 109 D 119
選B。此為移動(dòng)求和與乘除關(guān)系組合。第三項(xiàng)為第二項(xiàng)*2+第一項(xiàng)
65,35,17,3,()
A 1 B 2 C 0 D 4
選A。平方關(guān)系與和差關(guān)系組合，分別為8的平方+1，6的平方-1，4的平方+1，2的平方-1，下一個(gè)應(yīng)為0的平方+1=1
4，6，10，18，34，()
A 50 B 64 C 66 D 68
選C。各差關(guān)系與等比關(guān)系組合。依次相減，得2，4，8，16()，可推知下一個(gè)為32，32+34=66
6，15，35，77，()
A 106 B 117 C 136 D 163
選D。等差與等比組合。前項(xiàng)*2+3，5，7依次得后項(xiàng)，得出下一個(gè)應(yīng)為77*2+9=163
2，8，24，64，()
A 160 B 512 C 124 D 164
選A。此題較復(fù)雜，冪數(shù)列與等差數(shù)列組合。2=1*2的1次方，8=2*2的平方，24=3*2的3次方，64=4*2的4次方，下一個(gè)則為5*2的5次方=160
0，6，24，60，120，()
A 186 B 210 C 220 D 226
選B。和差與立方關(guān)系組合。0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3次方-3，60=4的3次方-4，120=5的3次方-5。
1，4，8，14，24，42，()
A 76 B 66 C 64 D68
選A。兩個(gè)等差與一個(gè)等比數(shù)列組合
依次相減，得3，4，6，10，18，()
再相減，得1，2，4，8，()，此為等比數(shù)列，下一個(gè)為16，倒推可知選A。
10.其他數(shù)列。
2，6，12，20，()
A 40 B 32 C 30 D 28
選C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一個(gè)為5*6=30
1，1，2，6，24，()
A 48 B 96 C 120 D 144
選C。后項(xiàng)=前項(xiàng)*遞增數(shù)列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一個(gè)為120=24*5
1，4，8，13，16，20，()
A20 B 25 C 27 D28
選B。每三項(xiàng)為一重復(fù)，依次相減得3，4，5。下個(gè)重復(fù)也為3，4，5，推知得25。
27，16，5，()，1/7
A 16 B 1 C 0 D 2
選B。依次為3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1次方。
這些數(shù)列部分也屬于組合數(shù)列，但由于與前面所講的和差，乘除，平方等關(guān)系不同，故在此列為其他數(shù)列。這種數(shù)列一般難題也較多。
第三部分: 數(shù)字推理題的各種規(guī)律
一.題型:
□ 等差數(shù)列及其變式
【例題1】2，5，8，()
A 10 B 11 C 12 D 13
【解答】從上題的前3個(gè)數(shù)字可以看出這是一個(gè)典型的等差數(shù)列，即后面的數(shù)字與前面數(shù)字之間的差等于一個(gè)常數(shù)。題中第二個(gè)數(shù)字為5，第一個(gè)數(shù)字為2，兩者的差為3，由觀察得知第三個(gè)、第二個(gè)數(shù)字也滿足此規(guī)律，那么在此基礎(chǔ)上對(duì)未知的一項(xiàng)進(jìn)行推理，即8+3=11，第四項(xiàng)應(yīng)該是11，即答案為B。
【例題2】3，4，6，9，()，18
A 11 B 12 C 13 D 14
【解答】答案為C。這道題表面看起來沒有什么規(guī)律，但稍加改變處理，就成為一道非常容易的題目。順次將數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)相減，得到的差構(gòu)成等差數(shù)列1，2，3，4，5，……。顯然，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)填13。在這種題中，雖然相鄰兩項(xiàng)之差不是一個(gè)常數(shù)，但這些數(shù)字之間有著很明顯的規(guī)律性，可以把它們稱為等差數(shù)列的變式。
□ 等比數(shù)列及其變式
【例題3】3，9，27，81()
A 243 B 342 C 433 D 135
【解答】答案為A。這也是一種最基本的排列方式，等比數(shù)列。其特點(diǎn)為相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的商是一個(gè)常數(shù)。該題中后項(xiàng)與前項(xiàng)相除得數(shù)均為3，故括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)填243。
【例題4】8，8，12，24，60，()
A 90 B 120 C 180 D 240
【解答】答案為C。該題難度較大，可以視為等比數(shù)列的一個(gè)變形。題目中相鄰兩個(gè)數(shù)字之間后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)得到的商并不是一個(gè)常數(shù)，但它們是按照一定規(guī)律排列的;1，1.5，2，2.5，3，因此括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為60×3=180。這種規(guī)律對(duì)于沒有類似實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)試者往往很難想到。我們?cè)谶@里作為例題專門加以強(qiáng)調(diào)。該題是1997年中央國家機(jī)關(guān)錄用大學(xué)畢業(yè)生考試的原題。
【例題5】8，14，26，50，()
A 76 B 98 C 100 D 104
【解答】答案為B。這也是一道等比數(shù)列的變式，前后兩項(xiàng)不是直接的比例關(guān)系，而是中間繞了一個(gè)彎，前一項(xiàng)的2倍減2之后得到后一項(xiàng)。故括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為50×2-2=98。
□ 等差與等比混合式
【例題6】5，4，10，8，15，16，()，()
A 20，18 B 18，32 C 20，32 D 18，32
【解答】此題是一道典型的等差、等比數(shù)列的混合題。其中奇數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)、等差為5的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)、等比為2的等比數(shù)列。這樣一來答案就可以容易得知是C。這種題型的靈活度高，可以隨意地拆加或重新組合，可以說是在等比和等差數(shù)列當(dāng)中的最有難度的一種題型。
□ 求和相加式與求差相減式
【例題7】34，35，69，104，()
A 138 B 139 C 173 D 179
【解答】答案為C。觀察數(shù)字的前三項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)規(guī)律，第一項(xiàng)與第二項(xiàng)相加等于第三項(xiàng)，34+35=69，這種假想的規(guī)律迅速在下一個(gè)數(shù)字中進(jìn)行檢驗(yàn)，35+69=104，得到了驗(yàn)證，說明假設(shè)的規(guī)律正確，以此規(guī)律得到該題的正確答案為173。在數(shù)字推理測(cè)驗(yàn)中，前兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和等于后一項(xiàng)是數(shù)字排列的又一重要規(guī)律。
【例題8】5，3，2，1，1，()
A -3 B -2 C 0 D 2
【解答】這題與上題同屬一個(gè)類型，有點(diǎn)不同的是上題是相加形式的，而這題屬于相減形式，即第一項(xiàng)5與第二項(xiàng)3的差等于第三項(xiàng)2，第四項(xiàng)又是第二項(xiàng)和第三項(xiàng)之差……所以，第四項(xiàng)和第五項(xiàng)之差就是未知項(xiàng)，即1-1=0，故答案為C。
□ 求積相乘式與求商相除式
【例題9】2，5，10，50，()
A 100 B 200 C 250 D 500
【解答】這是一道相乘形式的題，由觀察可知這個(gè)數(shù)列中的第三項(xiàng)10等于第一、第二項(xiàng)之積，第四項(xiàng)則是第二、第三兩項(xiàng)之積，可知未知項(xiàng)應(yīng)該是第三、第四項(xiàng)之積，故答案應(yīng)為D。
【例題10】100，50，2，25，()
A 1 B 3 C 2/25 D 2/5
【解答】這個(gè)數(shù)列則是相除形式的數(shù)列，即后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之比，所以未知項(xiàng)應(yīng)該是2/25，即選C。
□ 求平方數(shù)及其變式
【例題11】1，4，9，()，25，36
A 10 B 14 C 20 D 16
【解答】答案為D。這是一道比較簡單的試題，直覺力強(qiáng)的考生馬上就可以作出這樣的反應(yīng)，第一個(gè)數(shù)字是1的平方，第二個(gè)數(shù)字是2的平方，第三個(gè)數(shù)字是3的平方，第五和第六個(gè)數(shù)字分別是5、6的平方，所以第四個(gè)數(shù)字必定是4的平方。對(duì)于這類問題，要想迅速作出反應(yīng)，熟練掌握一些數(shù)字的平方得數(shù)是很有必要的。
【例題12】66，83，102，123，()
A 144 B 145 C 146 D 147
【解答】答案為C。這是一道平方型數(shù)列的變式，其規(guī)律是8，9，10，11，的平方后再加2，故括號(hào)內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為12的平方再加2，得146。這種在平方數(shù)列基礎(chǔ)上加減乘除一個(gè)常數(shù)或有規(guī)律的數(shù)列，初看起來顯得理不出頭緒，不知從哪里下手，但只要把握住平方規(guī)律，問題就可以劃繁為簡了。
□ 求立方數(shù)及其變式
【例題13】1，8，27，()
A 36 B 64 C 72 D81
【解答】答案為B。各項(xiàng)分別是1，2，3，4的立方，故括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的數(shù)字是64。
【例題14】0，6，24，60，120，()
A 186 B 210 C 220 D 226
【解答】答案為B。這也是一道比較有難度的題目，但如果你能想到它是立方型的變式，問題也就解決了一半，至少找到了解決問題的突破口，這道題的規(guī)律是：第一個(gè)數(shù)是1的立方減1，第二個(gè)數(shù)是2的立方減2，第三個(gè)數(shù)是3的立方減3，第四個(gè)數(shù)是4的立方減4，依此類推，空格處應(yīng)為6的立方減6，即210。
□ 雙重?cái)?shù)列
【例題15】257，178，259，173，261，168，263，()
A 275 B 279 C 164 D 163
【解答】答案為D。通過考察數(shù)字排列的特征，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)較大，第二個(gè)數(shù)較小，第三個(gè)數(shù)較大，第四個(gè)數(shù)較小，……。也就是說，奇數(shù)項(xiàng)的都是大數(shù)，而偶數(shù)項(xiàng)的都是小數(shù)�？梢耘袛啵@是兩項(xiàng)數(shù)列交替排列在一起而形成的一種排列方式。在這類題目中，規(guī)律不能在鄰項(xiàng)之間尋找，而必須在隔項(xiàng)中尋找。我們可以看到，奇數(shù)項(xiàng)是257，259，261，263，是一種等差數(shù)列的排列方式。而偶數(shù)項(xiàng)是178，173，168，()，也是一個(gè)等差數(shù)列，所以括號(hào)中的數(shù)應(yīng)為168-5=163。順便說一下，該題中的兩個(gè)數(shù)列都是以等差數(shù)列的規(guī)律排列，但也有一些題目中兩個(gè)數(shù)列是按不同規(guī)律排列的，不過題目的實(shí)質(zhì)沒有變化。
兩個(gè)數(shù)列交替排列在一列數(shù)字中，也是數(shù)字推理測(cè)驗(yàn)中一種較常見的形式。只有當(dāng)你把這一列數(shù)字判斷為多組數(shù)列交替排列在一起時(shí)，才算找到了正確解答這道題的方向，你的成功就已經(jīng)80%了。
□ 簡單有理化式 二、解題技巧
數(shù)字推理題的解題方法
數(shù)字推理題難度較大，但并非無規(guī)律可循，了解和掌握一定的方法和技巧，對(duì)解答數(shù)字推理問題大有幫助。
1快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系，尤其是前三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，大膽提出假設(shè)，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)，如果能得到驗(yàn)證，即說明找出規(guī)律，問題即迎刃而解;如果假設(shè)被否定，立即改變思考角度，提出另外一種假設(shè)，直到找出規(guī)律為止。
2推導(dǎo)規(guī)律時(shí)，往往需要簡單計(jì)算，為節(jié)省時(shí)間，要盡量多用心算，少用筆算或不用筆算。
3空缺項(xiàng)在最后的，從前往后推導(dǎo)規(guī)律;空缺項(xiàng)在最前面的，則從后往前尋找規(guī)律;空缺項(xiàng)在中間的可以兩邊同時(shí)推導(dǎo)。
4若自己一時(shí)難以找出規(guī)律，可用常見的規(guī)律來“對(duì)號(hào)入座”，加以驗(yàn)證。常見的排列規(guī)律有：
(1)奇偶數(shù)規(guī)律：各個(gè)數(shù)都是奇數(shù)(單數(shù))或偶數(shù)(雙數(shù));
(2)等差：相鄰數(shù)之間的差值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減。
(3)等比：相鄰數(shù)之間的比值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減;
如：2 4 8 16 32 64()
這是一個(gè)“公比”為2(即相鄰數(shù)之間的比值為2)的等比數(shù)列，空缺項(xiàng)應(yīng)為128。
(4)二級(jí)等差：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列;
如：4 2 2 3 6 15
相鄰數(shù)之間的比是一個(gè)等差數(shù)列，依次為：0.5、1、1.5、2、2.5。
(5)二級(jí)等比數(shù)列：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)理;
如：0 1 3 7 15 31()
相鄰數(shù)之間的差是一個(gè)等比數(shù)列，依次為1、2、4、8、16，空缺項(xiàng)應(yīng)為63。
(6)加法規(guī)律：前兩個(gè)數(shù)之和等于第三個(gè)數(shù)，如例題23;
(7)減法規(guī)律：前兩個(gè)數(shù)之差等于第三個(gè)數(shù);
如：5 3 2 1 1 0 1()
相鄰數(shù)之差等于第三個(gè)數(shù)，空缺項(xiàng)應(yīng)為-1。
(8)乘法(除法)規(guī)律：前兩個(gè)數(shù)之乘積(或相除)等于第三個(gè)數(shù);
(9)完全平方數(shù)：數(shù)列中蘊(yùn)含著一個(gè)完全平方數(shù)序列，或明顯、或隱含;
如：2 3 10 15 26 35()
1*1+1=2, 2*2-1=3，3*3+1=10，4*4-1=15......空缺項(xiàng)應(yīng)為50。
(10)混合型規(guī)律：由以上基本規(guī)律組合而成，可以是二級(jí)、三級(jí)的基本規(guī)律，也可能是兩個(gè)規(guī)律的數(shù)列交叉組合成一個(gè)數(shù)列。
如：1 2 6 15 31()
相鄰數(shù)之間的差是完全平方序列，依次為1、4、9、16，空缺項(xiàng)應(yīng)為31+25=56。
4道最BT公務(wù)員考試數(shù)字推理題匯總
數(shù)字的整除特性
數(shù)的整除的特征
我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù)，我們正是以能否被2整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。因此，有下面的結(jié)論：末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k，奇數(shù)總可表為2k+1(其中k為整數(shù))。
2.末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k(其中k為整數(shù))。
3.末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除，可表為5k(k為整數(shù))。
4.末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4(25)整除的整數(shù)必被4(25)整除。
如1996=1900+96，因?yàn)?00是4和25的倍數(shù)，所以1900是4和25的倍數(shù)，只要考察96是否4或25的倍數(shù)即可。
由于4|96
能被25整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00、25、50、75。能被4整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的數(shù)。
5.末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8(125)整除的整數(shù)必能被8(125)整除。
由于1000=8×125，因此，1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。
如判斷765432是否能被8整除。
因?yàn)?65432=765000+432
顯然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432=8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整數(shù)，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1=125，125×2=250，125×3=375;
125×4=500，125×5=625;125×6=750;
125×7=875;125×8=10000
故能被125整除的整數(shù)，末三位數(shù)只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。
6.各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被3(9)整除的整數(shù)必能被3(9)整除。
如478323是否能被3(9)整除?
由于478323=4×100000+7×10000+8×1000+3×100+2×10+3
=4×(99999+1)+7(9999+1)+8×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+3 =(4×99999+7×9999+8×999+3×99+2×9)+(4+7+8+3+2+3)
前一括號(hào)里的各項(xiàng)都是3(9)的倍數(shù)，因此，判斷478323是否能被3(9)整除，只要考察第二括號(hào)的各數(shù)之和(4+7+8+3+2+3)能否被3(9)整除。而第二括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，恰好是原數(shù)478323各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和。
∵4+7+8+3+2+3=27是3(9)的倍數(shù)，故知478323是3(9)的倍數(shù)。
在實(shí)際考察4+7+8+3+2+3是否被3(9)整除時(shí)，總可將3(9)的倍數(shù)劃掉不予考慮。
即考慮被3整除時(shí)，劃去7、2、3、3，只看4+8，考慮被9整除時(shí)，由于7+2=9，故可直接劃去7、2，只考慮4+8+3+3即可。
如考察9876543被9除時(shí)是否整除，可以只考察數(shù)字和(9+8+7+6+5+4+3)是否被9整除，還可劃去9、5+4、6+3，即只考察8
如問3是否整除9876543，則先可將9、6、3劃去，再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。由于3|(8+7+5+4)，故有3|9876543。
實(shí)際上，一個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和被3(9)除所得的余數(shù)，就是這個(gè)整數(shù)被3(9)除所得的余數(shù)。
7.一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù)。(一個(gè)整數(shù)的個(gè)位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位。)
如判斷42559能否被11整除。
42559=4×10000+2×1000+5×100+5×10+9
=4×(9999+1)+2×(1001-1)+5(99+1)
+5×(11-1)+9
=(4×9999+2×1001+5×99+5×11)+
(4-2+5-5+9)
=11×(4×909+2×91+5×9+5)+
(4-2+5-5+9)
前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一部分4-2+5-5+9是否為11的倍數(shù)。
而4-2+5-5+9=(4+5+9)-(2+5)恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。
由于(4+5+9)-(2+5)=11是11的倍數(shù)，故42559是11的倍數(shù)。
現(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù)，只須直接計(jì)算(1+8+9+7)-(7+5+2)是否為11的倍數(shù)即可。由25-14=11知(1+8+9+7)-(7+5+2)是1的倍數(shù)，故11|7295871。
上面所舉的例子，是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和(即我們平時(shí)認(rèn)為“不夠減”)，那么該怎么辦呢?
如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為3+4+6，而偶數(shù)位數(shù)字和為9+7+8。顯然3+4+6小于9+7+8，即13小于24。
遇到這種情況，可在13-24這種式子后面依次加上11，直至“夠減”為止。
由于13-24+11=0，恰為11的倍數(shù)，所以知道867493必是11的倍數(shù)。
又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為
(2+2+3)-(9+8+7)=7-24
7-24+11+11=5(加了兩次11使“夠減”)。由于5不能被11整除，故可立即判斷738292不能被11整除。
實(shí)際上，一個(gè)整數(shù)被11除所得的余數(shù)，即是這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)(不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止)。
同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。
如186這個(gè)三位數(shù)，連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個(gè)六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為6+1+8，偶數(shù)位數(shù)字和為8+6+1，它們的差恰好為零，故186186是11的倍數(shù)。
數(shù)位數(shù)字和為c+a+b，偶數(shù)位數(shù)字和為b+c+a，它們的差恰為零，
象這樣由三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)是否能被7整除呢?
如186186被7試除后商為26598，余數(shù)為零，即7|186186。能否不做186186÷7，而有較簡單的判斷辦法呢?
由于186186=186000+186
=186×1000+186
=186×1001
而1001=7×11×13，所以186186一定能被7整除。
這就啟發(fā)我們考慮，由于7×11×13=1001，故若一個(gè)數(shù)被1001整除，則這個(gè)數(shù)必被7整除，也被11和13整除。
或?qū)⒁粋�(gè)數(shù)分為兩部分的和或差，如果其中一部分為1001的倍數(shù)，另一部分為7(11或13)的倍數(shù)，那么原數(shù)也一定是7(11或13)的倍數(shù)。
如判斷2839704是否是7的倍數(shù)?
由于2839704=2839000+704
=2839×1000+704
=2839×1001-2839+704
=2839×1001-(2839-704)
∵2839-704=2135是7的倍數(shù)，所以2839704也是7的倍數(shù);2135不是11(13)的倍數(shù)，所以2839704也不是11(13)的倍數(shù)。
實(shí)際上，對(duì)于283904這樣一個(gè)七位數(shù)，要判斷它是否為7(11或13)的倍數(shù)，只需將它分為2839和704兩個(gè)數(shù)，看它們的差是否被7(11或13)整除即可。
又如判斷42952是否被13整除，可將42952分為42和952兩個(gè)數(shù)，只要看952-42=910是否被13整除即可。由于910=13×70，所以13|910，