(滿分：100分考試時間：150分鐘)
專業(yè)基礎知識部分
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列計算中正確的是()。
A.x·x3=x2B.x3-x2=x
C.x3÷x=x2D.x3+x3=x6
2.已知如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是()。
A.∠1=∠3B.∠2=∠3
C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°
3.如圖，某飛機于空中A處探測到地面目標B，此時從飛機上看目標B的俯角α=30°，飛行高度AC=1 200米，則飛機到目標B的距離AB為()。
A.1 200米B.2 400米
4.下列圖形中陰影部分的面積相等的是()。
A.①②B.②③
C.③④D.①④
5.如圖，已知△EFH和△MNK是位似圖形，那么其位似中心的點是()。
6.若三角形的三邊長分別為3、4、x-1，則x的取值范圍是()。
A.0 C.0 7.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2CD，且CD=13CA+λCB，則λ=()。
A.13B.-13
C.23D.-23
8.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β為方程f(x)=x的兩根，且0<α<β。當0 A.x C.x>f(x)D.x≥f(x)
9.在等比數列{an}中，a1=2，前n項和為Sn。若數列{an+1}也是等比數列，則Sn等于()。
A.2nB.3n
C.2n+1-2D.3n-1
10.將四名曾參加過奧運會的運動員分配到三個城市進行奧運知識的宣傳，每個城市至少分配一名運動員，則不同的分配方法共有()。
A.36種B.48種
C.72種D.24種
得分評卷人
二、填空題(本大題共4小題，每小題2分，共8分)
11.復數(1+i)21-i的虛部為。
12.函數f(x)=cos4x-sin4x的最小正周期是。
13.若(x-1x)n展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為。
14.某公司一個月生產產品1 890件，其中特級品540件，一級品1 350件，為了檢驗產品的包裝質量，用分層抽樣的方法，從產品中抽取一個容量為70的樣本進行測試，其中抽取的特級品的件數是。
三、解答題(本大題共5小題，共42分)
15.(1)(本小題滿分3分)計算：9-|-2|+33-10-2-1+2sin30°。
(2)(本小題滿分3分)先化簡，再求值：3xx-1-xx+1·x2-1x,其中x=3tan30°-2。
16.(本小題滿分10分)某超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：
(1)若一次購物不多于200元，則不予優(yōu)惠;
(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標準給予9折優(yōu)惠;
(3)若一次購物超過500元，其中500元以下部分(包括500元)給予9折優(yōu)惠，超過500元部分給予8折優(yōu)惠。
小李兩次去該超市購物，分別付款198元和554元，現(xiàn)在小張決定一次性地購買和小李分兩次購買的同樣多的物品，他需付多少元?
17.(本小題滿分6分)傳統(tǒng)型體育彩票規(guī)定：彩票上的7位數字與開獎開出的7位數字順序號碼完全一致，則中大獎五百萬元。
(1)問購買1組號碼中五百萬的概率是多大?
(2)為了確保中大獎五百萬元，每組號碼2元，則至少要花多少錢購買彩票?
(3)有人說：就一組號碼而言，要么中大獎，要么不中大獎，所以中大獎的概率是50%，你同意這種說法嗎?為什么?
18.(本小題滿分10分)已知函數f(x)=(x2-x-1a)eax(e為自然對數的底數，a為常數)。當a<0時，求函數f(x)的單調區(qū)間。
19.(本小題滿分10分)已知等比數列{an}的公比為q，且|q|>1，又知a2、a3的等比中項為42,a1、a2的等差中項為9。
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足bn=an·log12an，數列{bn}的前n項和為Tn，求limn→∞Tn+n·2n+1an+2的值。
【參考答案】
一、選擇題
1.C 【解析】略。
2.B 【解析】根據平行線的判定方法可知，∠2=∠3不能判定l1∥l2，故選B。
3.B 【解析】本題考查解答直角三角形應用題的能力，根據題意得AB=2AC=2 400米。選B。
4.D 【解析】分別計算圖中①②③④陰影部分面積比較即可。
5.B 【解析】兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。因此本題正確選項為B。(如下圖)
6.B 【解析】由題意得4-3
7.C 【解析】如圖，據題意得：
CD=12(CE+CB)=12[12(CD+CA)+CB]
=14CD+14CA+12CB，整理得：
34CD=14CA+12CBCD=13CA+23CB=13CA+λCB，
故λ=23。
8.A 【解析】據題意令g(x)=f(x)-x=a(x-α)(x-β),由已知a>0,且0<α<β，故當00f(x)>x,故選A。
9.A 【解析】設等比數列{an}公比為q,由a1=2且{an+1}也為等比數列得：(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)(2q+1)2=3×(2q2+1),解之得q=1,經驗證當q=1時數列{an+1}為等比數列，故等比數列{an}的前n項和Sn=na1=2n。
10.A 【解析】解答此類問題可先分組后分配，據題意將4名運動員分成2，1，1三組，然后再將3組分到3個城市中去即可，故共有C24A33=36種不同的分配方法。
二、填空題
11.1
【解析】據題意得：z=(1+i)21-i=2i1-i=2i(1+i)2=-1+i，因此其虛部為1。
12.π
【解析】由已知得：f(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x，故其最小正周期為2π2=π。
13.15
【解析】由二項式系數之和為64得：2n=64n=6，此時通項為：Tr+1=Cr6(-1)rx6-32r,令6-32r=0得r=4，故常數項為：T4+1=C46(-1)4=15。
14.20
【解析】分層抽樣中每一層中每個個體被抽到的概率均相等，故有：n70=5401 890n=20。
三、解答題
15. 解：(1)原式=3-2+1-12+1=212
(2)原式=3xx-1·(x+1)(x-1)x-xx+1·(x+1)(x-1)x
=3(x+1)-(x-1)
=3x+3-x+1
=2x+4
x=3tan30°-2=3×33-2=3-2時，原式=2x+4=2(3-2)+4=23
16.解：小李第一次購物付款198元，有兩種情況：①沒有享受打折，直接付款198元;②享受打折后，付款198元。因此，解答此題應分兩種情況分別討論。
①當198元為購物不打折付的錢時，現(xiàn)購物品原價為198元。
設小李第二次購物的原價為x元。則根據題意，列方程：
500×90%+(x-500)×80%=554
解得：x=630
于是小李兩次購物的原價共為：
198+630=828(元)。
小張一次性購買這些物品應付：
500×90%+(828-500)×80%=712.4(元)
②當198元為購物打折后付的錢，設購該物品的原價為x元，則根據題意列方程得：
x·90%=198
解得：x=220
又第二次購物的原價為630元，于是小李兩次購物的原價共為：
630+220=850(元)
小張一次性購買這些物品應付：
500×90%+(850-500)×80%=730(元)
答：小張需付712.4元或730元。
17.解：(1)購買一組號碼中五百萬大獎的概率是P(中五百萬)=110 000 000，是一千萬分之一。
(2)為了確保中大獎五百萬，必須買全一千萬組號碼，至少得花兩千萬元錢購買彩票。
(3)這種說法不正確，雖然就一組號碼而言要么中大獎五百萬要么不中，但是中大獎概率極小，不中大獎的概率極大，不是各50%。
18.解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-1a)·eax·a
=eax(ax+2)(x-1)
令f′(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0，解得x=-2a，或x=1
當a<-2,即-2a<1時，f′(x)>0-2a f′(x)<0x<-2a，或x>1
∴f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,-2a)∪(1,+∞)，
單調增區(qū)間為(-2a,1)。
當a=-2，即-2a=1時，
f′(x)=e-2x(-2)(x-1)2≤0在R上恒成立。
∴f(x)單調減區(qū)間為(-∞,+∞)。
當-21時，f′(x)<0x<1或x>-2a，
f′(x)>01 ∴f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,1)∪(-2a,+∞)，
單調增區(qū)間為(1，-2a)。
綜上，當a<-2時，f(x)單調遞增區(qū)間為(-2a,1),
單調遞減區(qū)間為(-∞,-2a)∪(1,+∞)
當a=-2,f(x)單調遞減區(qū)間為(-∞,+∞);
當-2 單調遞減區(qū)間為(-∞,1)∪(-2a,+∞)。
19. 解：(1)由已知，得a2·a3=(42)2=32a1+a4=2×9=18
∵{an}是等比數列且公比為q,
∴a21·q3=32a1+a1q3=18,解得a1=2q=2或a1=16q=12
又|q|>1∴a1=2q=2 從而an=2·2n-1=2n
(2)∵bn=an·log12an=-n·2n(n∈N*)
Tn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n)①
2Tn=-(1·22+2·23+…+n·2n+1)②
②-①得Tn=(2+22+…+2n)-n·2n+1
∴Tn=(1-n)·2n+1-2
limn→∞Tn+n·2n+1an+2=limn→∞2n+1-22n+2=12